空はなぜ青いのか：レイリー散乱から読み解く空の色

1. 素朴な疑問

晴れた日に空を見上げると、どこまでも青い色が広がっています。でも太陽の光自体は白っぽく見えます。同じ光なのに、空だけが青いのはなぜでしょうか。

2. よくある発想

実はどれも違います。空気は無色透明ですし、宇宙空間から見た地球外側の空は真っ黒です。

3. わかりやすい模範的答え

4. わかりやすく厳密な答え

この現象は「レイリー散乱」と呼ばれ、大気中の分子（光の波長より十分小さい粒子）による光の散乱強度は、光の波長 $\lambda$ の4乗に反比例することが知られています。

つまり太陽から届く白色光のうち、青い成分だけが大気中で四方八方に散らばり、空全体が青く輝いて見えるのです。逆に、夕方に太陽が地平線近くにあるときは、光が大気中を通る距離が長くなるため、青色光はほとんど散乱されつくして届かなくなり、散乱されにくい赤色光だけが目に届きます。これが夕焼けが赤い理由です。

5. 数値シミュレーション

レイリー散乱の強度が波長のマイナス4乗に比例する様子をグラフにしました。

図1: 波長が短い（青側）ほど散乱強度が急激に大きくなる

グラフの縦軸は散乱強度を最大値1として正規化した相対値、横軸は可視光線の波長(380〜750nm)です。曲線が右肩下がりになっているのは、波長が長くなる（赤に近づく）ほど散乱されにくくなることを表しています。点の色はその波長が人間の目にどう見えるかを表現しており、紫〜青の短波長側で強度が急上昇している様子が一目でわかります。なお、実際に空が紫ではなく青く見えるのは、太陽光にもともと含まれる紫成分の少なさと、人間の目の感度特性が関係しています（詳しくは8章で解説します）。

このグラフは以下のPythonコードで生成しました。

import numpy as np

wavelength_nm = np.linspace(380, 750, 400)
scattering_intensity = 1 / (wavelength_nm ** 4)
scattering_intensity /= scattering_intensity.max()

6. まとめ

7. よくある発想は何が間違っていたのか

8. さらなる疑問

Q. レイリー散乱なら、青より波長の短い紫の方がもっと強く散乱されるはずでは？ その通りで、実際に紫の方が青よりも強く散乱されます。それでも空が「紫」ではなく「青」に見えるのは、①太陽光そのものに含まれる紫成分が青成分よりやや少ないこと、②人間の目にある錐体細胞は紫よりも青に対する感度がわずかに高いことの2つの理由によります。

Q. 火星の空はなぜ地球と違う色に見えるのですか？ 火星の空は薄い赤茶色に見えることが知られています。これは大気の主成分やその薄さに加え、大気中に舞う微細な砂ダストの粒子サイズが、レイリー散乱ではなく「ミー散乱」という別の散乱様式が優勢になる大きさであるためです。粒子の性質が変わると、散乱される光の色の傾向も変わります。

Q. 曇りの日に空が白っぽく見えるのはなぜですか？ 雲を作る水滴は可視光の波長よりもずっと大きいため、レイリー散乱ではなくミー散乱が起こります。ミー散乱はすべての波長がほぼ同程度に散乱されるため、色による選り分けが起こらず、太陽光がそのまま「白色」として散乱されて見えるのです。

9. 数式の完全な導出

4章で使った $I(\lambda) \propto 1/\lambda^4$ という関係式を、天下り的にではなく、電磁気学の基本法則から順を追って導出します。

ステップ1: 光を受けた粒子は「振動する電気双極子」になる

大気中の分子は、波長よりも十分小さいとみなせます。そこに周波数 $\omega$（角周波数）で振動する光の電場

$E(t) = E_0 \cos(\omega t)$

が当たると、分子内の電子は電場に押されて振動し、分子は小さな電気双極子（プラスとマイナスの電荷が少しだけ離れた状態）になります。この双極子モーメント $p(t)$ は、分子の分極しやすさを表す定数 $\alpha$（分極率）を使って、

$p(t) = \alpha E(t) = \alpha E_0 \cos(\omega t)$

と表せます。これは「電場が強いほど、双極子も大きく振動する」という比例関係を表しているだけの、素直な式です。

ステップ2: 振動する双極子は光を放射する（ラーモアの公式）

電磁気学の基本法則の一つに、「加速度運動する電荷（＝振動する双極子）は、その加速度の2乗に比例した電磁波を放射する」というラーモアの公式があります。双極子モーメントの2階時間微分 $p''(t)$ が、この「加速度」に相当する量です。

$P(t) \propto \left(\frac{d^2 p}{dt^2}\right)^2$

ステップ3: $p''(t)$ を実際に計算する

ステップ1の $p(t) = \alpha E_0 \cos(\omega t)$ を2回微分します。

$\frac{dp}{dt} = -\alpha E_0 \omega \sin(\omega t)$

$\frac{d^2p}{dt^2} = -\alpha E_0 \omega^2 \cos(\omega t)$

微分するたびに $\omega$ が1つずつ前に出てくることに注目してください。2回微分したことで $\omega^2$ が出てきています。

ステップ4: 放射パワーを計算し、時間平均をとる

ステップ3の結果をステップ2の式に代入すると、

$P(t) \propto \alpha^2 E_0^2 \omega^4 \cos^2(\omega t)$

$\cos^2(\omega t)$ は時間とともに0〜1の間で振動しますが、1周期にわたって平均すると $1/2$ になることが知られています（$\cos^2\theta = (1+\cos 2\theta)/2$ の平均を取ればよい）。したがって時間平均の放射パワー $\langle P \rangle$ は、

$\langle P \rangle \propto \alpha^2 E_0^2 \omega^4$

分子の性質 $\alpha$ や入射光の強さ $E_0$ を固定して考えると、散乱される光の強さは $\omega^4$ に比例することがわかります。

ステップ5: 角周波数 $\omega$ を波長 $\lambda$ に書き換える

角周波数と波長の間には、光速 $c$ を使った関係式

$\omega = \frac{2\pi c}{\lambda}$

が成り立ちます。これをステップ4の結果に代入すると、

$\langle P \rangle \propto \omega^4 = \left(\frac{2\pi c}{\lambda}\right)^4 = \frac{(2\pi c)^4}{\lambda^4} \propto \frac{1}{\lambda^4}$

$2\pi c$ は定数なので比例関係には影響しません。こうして、

$I(\lambda) \propto \frac{1}{\lambda^4}$

という、4章で使った関係式が導かれました。

導出から読み取れること

この導出を振り返ると、「波長が短いほど強く散乱される」という現象の本質的な原因は、波長が短い（＝周波数が高い）光ほど、電子をより激しく（大きな加速度で）振動させ、その激しい加速度運動がより強い電磁波を放射するという点にあります。4乗という強い依存性は、双極子モーメントの計算で2階微分が必要だったこと（$\omega$が2つ生まれる）と、放射パワーが加速度の「2乗」に比例すること（$\omega$がさらに2つ分掛かる）が組み合わさった結果、$\omega^2 \times \omega^2 = \omega^4$ となって生まれています。